Résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues
Un système de trois équations à trois inconnues
est un ensemble de trois équations contenant
généralement les inconnues x,
y et z.
Résoudre ce système consiste à déterminer les
valeurs de ces trois inconnues qui vérifient
simultanément les trois équations.
La forme générale d'un système de 3 équations
à 3 inconnues est :
ax + by + cz = p
dx + ey + fz = q
gx + hy + iz = r
Les coefficients a, b, c, d, e, f,
g, h, i et les constantes
p, q, r peuvent être des nombres
entiers, décimaux ou fractions.
Méthode du pivot de Gauss
La méthode du pivot de Gauss est une méthode
classique permettant de résoudre les systèmes
d'équations linéaires. Elle consiste à transformer
progressivement le système en utilisant des
opérations élémentaires sur les lignes.
Le système est représenté sous la forme d'une
matrice augmentée. Pour un système
3×3, cette matrice contient les coefficients des
trois inconnues ainsi que les constantes situées
après le signe égal.
[ a b c | p ]
[ d e f | q ]
[ g h i | r ]
Le principe du pivot de Gauss consiste à choisir
un coefficient non nul comme pivot, puis à utiliser
des combinaisons de lignes pour obtenir des zéros
sous ce pivot. Le même procédé est ensuite appliqué
aux colonnes suivantes.
Les opérations élémentaires utilisées sont notamment
l'échange de deux lignes, la multiplication d'une
ligne par un nombre non nul et l'addition à une ligne
d'un multiple d'une autre ligne.
Une fois la matrice transformée, on peut déterminer
si le système possède une solution unique, une
infinité de solutions ou aucune solution.
Les trois cas possibles
Un système linéaire de trois équations à trois
inconnues peut avoir trois types de résultats :
une solution unique,
une infinité de solutions ou
aucune solution.
Exemple 1 : système avec une solution unique
Considérons le système :
x + y + z = 6
2x - y + z = 3
x + 2y - z = 2
La résolution par élimination donne :
x = 1, y = 2, z = 3
Le système possède donc une solution unique.
Exemple 2 : système avec une infinité de solutions
Considérons le système :
x + y + z = 3
2x + 2y + 2z = 6
3x + 3y + 3z = 9
Les trois équations représentent en réalité
la même relation. Elles ne permettent donc pas
de déterminer séparément les trois inconnues.
On peut par exemple écrire :
z = 3 - x - y.
Le système possède donc une
infinité de solutions.
Exemple 3 : système sans solution
Considérons le système :
x + y + z = 3
2x + 2y + 2z = 6
3x + 3y + 3z = 10
Les deux premières équations sont compatibles,
mais la troisième impose une constante différente
de celle qui serait obtenue en multipliant la
première équation par 3.
La réduction de la matrice conduit alors à une
contradiction de la forme :
0 = 1.
Le système ne possède donc
aucune solution.
Pourquoi utiliser un résolveur de système 3×3 ?
La résolution manuelle d'un système de trois
équations peut nécessiter plusieurs calculs
intermédiaires. Ce résolveur permet d'obtenir
directement le résultat du système après avoir
saisi ses coefficients et ses constantes.
Le calculateur conserve les résultats exacts sous
forme de fractions lorsque cela est nécessaire.
Par exemple, une valeur égale à un tiers est affichée
sous la forme 1/3 plutôt que sous
la forme approximative 0,333333333.
Quels nombres peut-on saisir ?
Vous pouvez saisir des nombres positifs ou négatifs,
des nombres entiers, des nombres décimaux et des
fractions.
Exemples de valeurs acceptées :
5,
-3,
2,5,
-1,75,
1/3 et
-7/4.
Pour obtenir une solution, renseignez les douze
coefficients et constantes du système puis cliquez
sur « Résoudre le système ».