Division euclidienne de polynômes
Effectuez une division euclidienne de deux polynômes et obtenez le quotient, le reste et les principales étapes détaillées du calcul.
(x^3+2x+5)/(x^2-3x+2)
Résultat final
Principales étapes du calcul
Division euclidienne de polynômes en ligne
La division euclidienne de polynômes est une opération fondamentale en algèbre. Elle permet de diviser un polynôme appelé dividende par un autre polynôme appelé diviseur.
Le résultat d'une division euclidienne s'écrit sous la forme :
où A(x) est le dividende, B(x) est le diviseur, Q(x) est le quotient et R(x) est le reste. Le degré du reste est strictement inférieur au degré du diviseur.
Comment effectuer une division euclidienne ?
Pour effectuer une division euclidienne de polynômes, on travaille progressivement sur le reste courant. À chaque étape, on suit toujours la même méthode :
- Identifier le terme dominant du reste courant.
- Diviser ce terme par le terme dominant du diviseur.
- Ajouter le résultat au quotient.
- Multiplier tout le diviseur par le terme obtenu.
- Soustraire ce produit du reste courant.
- Recommencer jusqu'à ce que le degré du reste soit inférieur à celui du diviseur.
Exemple de division euclidienne
Prenons la fraction rationnelle :
Le dividende est donc x³ + 2x + 5 et le diviseur est x² − 3x + 2.
Premièrement, on divise le terme dominant du dividende par le terme dominant du diviseur :
On obtient donc le premier terme du quotient : x.
On multiplie ensuite tout le diviseur par x :
Puis on soustrait ce résultat au dividende :
On recommence avec le nouveau reste :
On obtient le deuxième terme du quotient : 3. Le quotient est donc maintenant :
On multiplie le diviseur par 3 :
Puis on effectue la dernière soustraction :
Le nouveau reste est donc 9x − 1. Son degré est 1, tandis que le degré du diviseur est 2. Comme :
la division doit s'arrêter.
On obtient finalement :
Ainsi, le quotient est x + 3 et le reste est 9x − 1.
À quoi sert la division euclidienne des polynômes ?
La division euclidienne intervient dans de nombreux calculs d'algèbre. Elle permet notamment de rechercher des facteurs communs, d'étudier les racines d'un polynôme et de préparer certaines opérations sur les fractions rationnelles.
Elle est également utilisée dans la factorisation des polynômes, le calcul du PGCD de polynômes et différents exercices d'algèbre au lycée et dans l'enseignement supérieur.